ОГЭ Математикатренажёр · 9 класс
24Часть 2 · развёрнутое решение

Задание 24 ОГЭ — доказательство (часть 2)

Задание 24 ОГЭ — задача на доказательство геометрического факта. Оценивается логика рассуждения.

Задание части 2: развёрнутое решение с обоснованием, до 2 баллов.

Теория темы: Геометрия: доказательство (часть 2)Тренажёр по заданию 24

Реши задание 24 прямо сейчас

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена медиана CM к гипотенузе AB. Докажите, что CM равна половине гипотенузы AB.

Маскот-сова приветствует и предлагает решить задание

Десятичную дробь можно вводить через запятую: 0,5. Знаки и пробелы можно опускать.

Похожие задания

6 задач с ответами

Все задачи задания 24 ОГЭ

Банк задач по прототипам и уровням сложности. Ответ и решение — под спойлером у каждой задачи.

Геометрия на доказательство (часть 2)6

№1Сложность 3 · Сложная
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена медиана CM к гипотенузе AB. Докажите, что CM равна половине гипотенузы AB.
▸Показать ответ и решение
Ответ: Доказательство приведено
Опишем около прямоугольного треугольника ABC окружность. Так как угол C прямой и опирается на сторону AB, по теореме, обратной теореме о вписанном угле, AB является диаметром этой окружности, а её центр — середина M гипотенузы AB. Точки A, B и C лежат на окружности, поэтому MA, MB и MC — радиусы и равны между собой: MC=MA=MB=12ABMC = MA = MB = \tfrac12 AB. Следовательно, медиана CM, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, что и требовалось доказать.
№2Сложность 3 · Сложная
Дан параллелограмм ABCD, диагонали которого пересекаются в точке O. Докажите, что O — середина каждой из диагоналей, то есть AO = OC и BO = OD.
▸Показать ответ и решение
Ответ: Доказательство приведено
Рассмотрим треугольники AOB и COD. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, поэтому AB=CDAB = CD. Так как AB∥CDAB \parallel CD, при пересечении их секущей AC накрест лежащие углы равны: ∠OAB=∠OCD\angle OAB = \angle OCD; аналогично при секущей BD: ∠OBA=∠ODC\angle OBA = \angle ODC. Тогда треугольники AOB и COD равны по второму признаку (стороне AB=CDAB = CD и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следуют равенства соответственных сторон: AO=OCAO = OC и BO=ODBO = OD. Значит, точка O делит каждую диагональ пополам, что и требовалось доказать.
№3Сложность 3 · Сложная
В треугольнике ABC стороны AB и AC равны (AB = AC). Докажите, что углы при основании равны: ∠B=∠C\angle B = \angle C.
▸Показать ответ и решение
Ответ: Доказательство приведено
Проведём из вершины A биссектрису AL угла A, где L лежит на стороне BC. Рассмотрим треугольники ABL и ACL. У них AB=ACAB = AC по условию, ALAL — общая сторона, а углы ∠BAL=∠CAL\angle BAL = \angle CAL как половины угла A (AL — биссектриса). Значит, треугольники ABL и ACL равны по первому признаку (две стороны и угол между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответственных углов: ∠ABL=∠ACL\angle ABL = \angle ACL, то есть ∠B=∠C\angle B = \angle C. Что и требовалось доказать.
№4Сложность 3 · Сложная
В треугольнике ABC точки M и N — середины сторон AB и AC соответственно. Докажите, что отрезок MN параллелен стороне BC и равен её половине.
▸Показать ответ и решение
Ответ: Доказательство приведено
Рассмотрим треугольники AMN и ABC. У них общий угол A, а стороны, образующие этот угол, пропорциональны: AMAB=ANAC=12\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac12, так как M и N — середины. По второму признаку подобия (угол и пропорциональные стороны) треугольники AMN и ABC подобны с коэффициентом 12\tfrac12. Из подобия следует ∠AMN=∠ABC\angle AMN = \angle ABC; эти углы соответственные при прямых MN и BC и секущей AB, значит MN∥BCMN \parallel BC. Кроме того, MN=12BCMN = \tfrac12 BC как соответственная сторона подобных треугольников. Что и требовалось доказать.
№5Сложность 3 · Сложная
Прямая l касается окружности с центром O в точке A. Докажите, что радиус OA перпендикулярен касательной l.
▸Показать ответ и решение
Ответ: Доказательство приведено
Касательная имеет с окружностью единственную общую точку A. Предположим противное: пусть OA не перпендикулярен l. Опустим из центра O перпендикуляр OH на прямую l, где H≠AH \ne A. В прямоугольном треугольнике OHA гипотенуза OA больше катета OH, поэтому OH<OA=ROH < OA = R. Значит, расстояние от центра до прямой l меньше радиуса, и прямая l пересекает окружность в двух точках. Это противоречит тому, что l — касательная (одна общая точка). Следовательно, перпендикуляр из O падает именно в точку A, то есть OA⊥lOA \perp l. Что и требовалось доказать.
№6Сложность 3 · Сложная
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Докажите, что сумма его противоположных углов равна 180°: ∠A+∠C=180°\angle A + \angle C = 180°.
▸Показать ответ и решение
Ответ: Доказательство приведено
Углы A и C — вписанные в окружность. Вписанный угол A опирается на дугу BCD (не содержащую вершину A), а вписанный угол C опирается на дугу BAD (не содержащую вершину C). Вместе эти две дуги составляют всю окружность, то есть сумма их градусных мер равна 360°360°. По теореме о вписанном угле каждый угол равен половине дуги, на которую опирается: ∠A=12 ⌣BCD\angle A = \tfrac12\,\smile BCD, ∠C=12 ⌣BAD\angle C = \tfrac12\,\smile BAD. Тогда ∠A+∠C=12(⌣BCD+⌣BAD)=12⋅360°=180°\angle A + \angle C = \tfrac12(\smile BCD + \smile BAD) = \tfrac12\cdot 360° = 180°. Что и требовалось доказать.

Все задачи — авторские, сгенерированы по типовым прототипам задания 24 ОГЭ с проверенными ответами. Решай с моментальной проверкой в тренажёре.

Частые вопросы

Задание 24: коротко

Что проверяет задание 24 ОГЭ по математике?

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, описанная окружность прямоугольного треугольника.

Сколько баллов за задание 24?

Задание части 2 оценивается в 2 балла при полном и обоснованном решении; за частично верное решение возможен 1 балл.

Где потренировать задание 24 онлайн?

В тренажёре ниже: решай аналоги задания 24 с моментальной проверкой ответа и разбором — бесплатно и без регистрации.

Как строить доказательство?

Иди от данного к доказываемому цепочкой логических шагов, на каждом ссылаясь на теорему или признак. Чертёж обязателен.

За что дают баллы в задании 24?

За полное и логически верное доказательство со ссылками на свойства. Частичные баллы — за верный, но неполный ход рассуждения.

Не получается задание 24?

Оставь заявку — поможем понять тему и покажем, как решать такие задания.

Получить помощь