Равенство треугольников: доказательство (часть 2)

Рассмотрим треугольники ABC и CDA. По определению параллелограмма противоположные стороны равны: $AB = CD$ и $BC = AD$. Сторона AC у этих треугольников общая. Значит, треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам: $AB = CD$, $BC = DA$, $AC$ — общая). Что и требовалось доказать.

Проведём из вершины A биссектрису AL угла A, где L лежит на стороне BC. Рассмотрим треугольники ABL и ACL. У них $AB = AC$ по условию, сторона AL общая, а углы $\angle BAL = \angle CAL$ как половины угла A (AL — биссектриса). Значит, треугольники ABL и ACL равны по первому признаку (две стороны и угол между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответственных углов: $\angle ABL = \angle ACL$, то есть $\angle B = \angle C$. Что и требовалось доказать.

Рассмотрим треугольники ABM и ACM. По условию $AB = AC$; $BM = CM$, так как M — середина BC; сторона AM общая. Значит, треугольники ABM и ACM равны по третьему признаку (по трём сторонам). Из равенства треугольников следует равенство соответственных углов: $\angle BAM = \angle CAM$, то есть AM — биссектриса угла A. Также $\angle AMB = \angle AMC$; но эти углы смежные ($\angle AMB + \angle AMC = 180°$), поэтому каждый из них равен $90°$. Значит, $AM \perp BC$, то есть AM — высота. Итак, медиана AM к основанию является и высотой, и биссектрисой. Что и требовалось доказать.