Окружность: доказательство (часть 2)

Касательная имеет с окружностью ровно одну общую точку — точку касания A. Опустим из центра O перпендикуляр на прямую l и обозначим его основание H. Предположим, что $H \ne A$. Тогда OH — перпендикуляр, а OA — наклонная к прямой l, поэтому $OH < OA = R$. Значит, расстояние от центра O до прямой l меньше радиуса, и прямая l пересекала бы окружность в двух точках — что противоречит тому, что l касательная (одна общая точка). Следовательно, $H = A$, то есть перпендикуляр из центра попадает именно в точку касания, и $OA \perp l$. Что и требовалось доказать.

Соединим точку A с центром O. Отрезки OA, OB, OC — радиусы окружности, поэтому $OA = OB = OC = R$. Значит, треугольники OAB и OAC равнобедренные. В равнобедренном треугольнике OAB углы при основании равны: $\angle OAB = \angle OBA$; обозначим их $\alpha$. В равнобедренном треугольнике OAC: $\angle OAC = \angle OCA$; обозначим их $\beta$. Угол $\angle BAC = \angle OAB + \angle OAC = \alpha + \beta$. Сумма углов треугольника ABC равна $180°$: $\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = (\alpha+\beta) + \alpha + \beta = 2(\alpha+\beta) = 180°$. Отсюда $\alpha + \beta = 90°$, то есть $\angle BAC = 90°$. Что и требовалось доказать.

Углы A и C — вписанные в окружность. Вписанный угол A опирается на дугу BCD (не содержащую вершину A), а вписанный угол C опирается на дугу BAD (не содержащую вершину C). Вместе эти две дуги составляют всю окружность, то есть сумма их градусных мер равна $360°$. По теореме о вписанном угле каждый угол равен половине дуги, на которую опирается: $\angle A = \tfrac12\,\smile BCD$, $\angle C = \tfrac12\,\smile BAD$. Тогда $\angle A + \angle C = \tfrac12(\smile BCD + \smile BAD) = \tfrac12\cdot 360° = 180°$. Что и требовалось доказать.