Свойства параллелограмма, ромба, прямоугольника: доказательство (часть 2)

Ромб — это параллелограмм, поэтому его диагонали точкой пересечения O делятся пополам: $AO = OC$ и $BO = OD$. Рассмотрим треугольники ABO и CBO. В них $AB = CB$ как стороны ромба, $AO = CO$ (O — середина AC), сторона BO общая. Значит, треугольники ABO и CBO равны по третьему признаку. Тогда равны соответственные углы $\angle AOB = \angle COB$. Но эти углы смежные, их сумма равна $180°$, поэтому каждый равен $90°$. Следовательно, $AC \perp BD$. Что и требовалось доказать.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABC и BAD (с прямыми углами при вершинах B и A соответственно). В них катет AB общий; катеты $BC = AD$ как противоположные стороны прямоугольника. Значит, треугольники ABC и BAD равны по двум катетам (первый признак: две стороны и прямой угол между ними). Из равенства треугольников следует равенство гипотенуз: $AC = BD$. Что и требовалось доказать.

В параллелограмме ABCD противоположные стороны параллельны, в частности $AD \parallel BC$. Рассмотрим эти параллельные прямые и секущую AB. Углы $\angle A$ (при вершине A между сторонами AB и AD) и $\angle B$ (при вершине B между сторонами BA и BC) являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых AD и BC и секущей AB. Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых равна $180°$, поэтому $\angle A + \angle B = 180°$. Что и требовалось доказать.

Рассмотрим треугольники ABD и BAC, опирающиеся на нижнее основание AB. В них сторона AB общая; боковые стороны $AD = BC$ по условию равнобедренной трапеции; углы при основании равны: $\angle DAB = \angle CBA$ (углы при большем основании равнобедренной трапеции равны). Значит, треугольники ABD и BAC равны по первому признаку (две стороны и угол между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответственных сторон — диагоналей: $BD = AC$. Что и требовалось доказать.