Составная фигура: площадь по координатам (часть 2)

Заключим треугольник в наименьший прямоугольник со сторонами, параллельными осям. Его стороны равны размаху координат: ширина $W = 6 - 1 = 5$, высота $H = 7 - 0 = 7$, площадь $S_{\text{прям}} = 5\cdot 7 = 35$. Внутри прямоугольника, кроме искомого треугольника, лежат три прямоугольных треугольника по углам; их суммарная площадь $S_{\text{углы}} = 19$. Тогда $S_{ABC} = S_{\text{прям}} - S_{\text{углы}} = 35 - 19 = 16$. Проверка по формуле Гаусса: $S = \tfrac12\,|x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)| = 16$.

Разобьём четырёхугольник диагональю AC на два треугольника. Площади треугольников найдём по координатам (формула Гаусса): $S_{ABC} = 12$ и $S_{ACD} = 24$. Тогда площадь четырёхугольника $S = S_{ABC} + S_{ACD} = 12 + 24 = 36$. Тот же ответ даёт формула Гаусса сразу для всех четырёх вершин: $S = \tfrac12\,|x_A y_B - x_B y_A + x_B y_C - x_C y_B + x_C y_D - x_D y_C + x_D y_A - x_A y_D| = 36$.

Разобьём четырёхугольник диагональю AC на два треугольника. Площади треугольников найдём по координатам (формула Гаусса): $S_{ABC} = 17$ и $S_{ACD} = 19$. Тогда площадь четырёхугольника $S = S_{ABC} + S_{ACD} = 17 + 19 = 36$. Тот же ответ даёт формула Гаусса сразу для всех четырёх вершин: $S = \tfrac12\,|x_A y_B - x_B y_A + x_B y_C - x_C y_B + x_C y_D - x_D y_C + x_D y_A - x_A y_D| = 36$.

Разобьём четырёхугольник диагональю AC на два треугольника. Площади треугольников найдём по координатам (формула Гаусса): $S_{ABC} = 18,5$ и $S_{ACD} = 17,5$. Тогда площадь четырёхугольника $S = S_{ABC} + S_{ACD} = 18,5 + 17,5 = 36$. Тот же ответ даёт формула Гаусса сразу для всех четырёх вершин: $S = \tfrac12\,|x_A y_B - x_B y_A + x_B y_C - x_C y_B + x_C y_D - x_D y_C + x_D y_A - x_A y_D| = 36$.