ОГЭ Математикатренажёр · 9 класс

Задание 25 · часть 2

Отношения площадей (часть 2)

Что это за тип. Треугольники с общей высотой относятся как основания; медиана делит треугольник на два равновеликих; средняя линия отсекает треугольник площадью 1/4; отношение площадей подобных равно k².

Это один из типов задания 25 ОГЭ по математике (часть 2): сложная геометрия: медианы, высоты, биссектрисы.

10 задач с ответами

Задачи: Отношения площадей (часть 2)

Прорешай этот тип задания: ответ и решение — под спойлером у каждой задачи. Фильтр по сложности — выше.

Отношения площадей (часть 2)4

№1Сложность 3 · Сложная
ABC
На клетчатой бумаге (размер клетки 1×1) изображён треугольник A(2; 9), B(0; 1), C(8; 1). Точка M — середина стороны BC, AM — медиана. Найдите отношение площадей треугольников ABM и ACM (то есть SABM:SACMS_{ABM} : S_{ACM}).
▸Показать ответ и решение
Ответ: 1
Медиана AM делит сторону BC пополам: BM=MCBM = MC (M — середина BC, её координаты (4;1)(4; 1)). Треугольники ABM и ACM имеют общую вершину A и равные основания BM и MC, лежащие на одной прямой BC, поэтому у них равные высоты из A. Значит, их площади равны: SABM=SACMS_{ABM} = S_{ACM}. Проверка по координатам: SABM=16S_{ABM} = 16, SACM=16S_{ACM} = 16. Отношение SABM:SACM=1:1=1S_{ABM} : S_{ACM} = 1 : 1 = 1.
№2Сложность 3 · Сложная
ABC
На клетчатой бумаге (размер клетки 1×1) изображён треугольник A(5; 8), B(1; 0), C(9; 0). Точка M — середина стороны BC, AM — медиана. Найдите отношение площадей треугольников ABM и ACM (то есть SABM:SACMS_{ABM} : S_{ACM}).
▸Показать ответ и решение
Ответ: 1
Медиана AM делит сторону BC пополам: BM=MCBM = MC (M — середина BC, её координаты (5;0)(5; 0)). Треугольники ABM и ACM имеют общую вершину A и равные основания BM и MC, лежащие на одной прямой BC, поэтому у них равные высоты из A. Значит, их площади равны: SABM=SACMS_{ABM} = S_{ACM}. Проверка по координатам: SABM=16S_{ABM} = 16, SACM=16S_{ACM} = 16. Отношение SABM:SACM=1:1=1S_{ABM} : S_{ACM} = 1 : 1 = 1.
№3Сложность 3 · Сложная
ABC
На клетчатой бумаге (размер клетки 1×1) изображён треугольник A(4; 7), B(0; 1), C(4; 1). Точка M — середина стороны BC, AM — медиана. Найдите отношение площадей треугольников ABM и ACM (то есть SABM:SACMS_{ABM} : S_{ACM}).
▸Показать ответ и решение
Ответ: 1
Медиана AM делит сторону BC пополам: BM=MCBM = MC (M — середина BC, её координаты (2;1)(2; 1)). Треугольники ABM и ACM имеют общую вершину A и равные основания BM и MC, лежащие на одной прямой BC, поэтому у них равные высоты из A. Значит, их площади равны: SABM=SACMS_{ABM} = S_{ACM}. Проверка по координатам: SABM=6S_{ABM} = 6, SACM=6S_{ACM} = 6. Отношение SABM:SACM=1:1=1S_{ABM} : S_{ACM} = 1 : 1 = 1.
№4Сложность 3 · Сложная
ABC
На клетчатой бумаге (размер клетки 1×1) изображён треугольник A(3; 6), B(1; 0), C(13; 0). Точки M и N — середины сторон AB и AC соответственно (MN — средняя линия). Найдите отношение площади треугольника AMN к площади треугольника ABC (то есть SAMN:SABCS_{AMN} : S_{ABC}).
▸Показать ответ и решение
Ответ: 0,25
M и N — середины сторон AB и AC, поэтому отрезок MN — средняя линия, и треугольник AMN подобен треугольнику ABC с коэффициентом k=AMAB=12k = \dfrac{AM}{AB} = \dfrac12 (общий угол A, стороны вдвое меньше). Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: SAMNSABC=k2=(12)2=14\dfrac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\dfrac12\right)^2 = \dfrac14. Проверка по координатам: SAMN=9S_{AMN} = 9, SABC=36S_{ABC} = 36, отношение =0,25= 0,25.

Все задачи — авторские, сгенерированы по типовым прототипам задания 25 ОГЭ с проверенными ответами. Решай с моментальной проверкой в тренажёре.

Другие типы

Ещё типы задания 25

Биссектриса, высота, медиана и их свойства (часть 2)Сложная геометрия на вычисление (часть 2)Составная фигура: площадь по координатам (часть 2)

Реши задание 25 онлайн

Прорешай задачи этого типа в тренажёре с моментальной проверкой и разбором.

Решать в тренажёре