ОГЭ Математикатренажёр · 9 класс

Задание 25 · часть 2

Сложная геометрия на вычисление (часть 2)

Что это за тип. Сложные многошаговые задачи на вычисление, заданные координатами: медианы, высоты, биссектрисы, радиусы, отношения отрезков.

Это один из типов задания 25 ОГЭ по математике (часть 2): сложная геометрия: медианы, высоты, биссектрисы.

10 задач с ответами

Задачи: Сложная геометрия на вычисление (часть 2)

Прорешай этот тип задания: ответ и решение — под спойлером у каждой задачи. Фильтр по сложности — выше.

Сложная геометрия на вычисление (часть 2)10

№1Сложность 3 · Сложная
На координатной плоскости отмечены вершины треугольника A(1; 2), B(5; 7), C(9; 13). Найдите длину медианы, проведённой из вершины A.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 10
Медиана из A идёт в середину стороны BC. Координаты середины M=(5+92;7+132)=(7;10)M = \left(\dfrac{5 + 9}{2}; \dfrac{7 + 13}{2}\right) = (7; 10). Длина медианы AM=(7−1)2+(10−2)2=62+82=100=10AM = \sqrt{(7 - 1)^2 + (10 - 2)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10.
№2Сложность 3 · Сложная
На координатной плоскости отмечены вершины треугольника A(1; 1), B(0; 2), C(8; 8). Найдите длину медианы, проведённой из вершины A.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 5
Медиана из A идёт в середину стороны BC. Координаты середины M=(0+82;2+82)=(4;5)M = \left(\dfrac{0 + 8}{2}; \dfrac{2 + 8}{2}\right) = (4; 5). Длина медианы AM=(4−1)2+(5−1)2=32+42=25=5AM = \sqrt{(4 - 1)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5.
№3Сложность 3 · Сложная
На координатной плоскости отмечены вершины треугольника A(1; 2), B(13; 2), C(1; 11). Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 7,5
Проверим, что угол A прямой: AB=12AB = 12 (вдоль оси x), AC=9AC = 9 (вдоль оси y), они перпендикулярны. Гипотенуза BC=122+92=225=15BC = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{225} = 15. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности — середина гипотенузы, а радиус равен её половине: R=BC2=152=7,5R = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{15}{2} = 7,5.
№4Сложность 3 · Сложная
На координатной плоскости отмечены вершины треугольника A(0; 0), B(8; 0), C(0; 6). Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 5
Проверим, что угол A прямой: AB=8AB = 8 (вдоль оси x), AC=6AC = 6 (вдоль оси y), они перпендикулярны. Гипотенуза BC=82+62=100=10BC = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности — середина гипотенузы, а радиус равен её половине: R=BC2=102=5R = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{10}{2} = 5.
№5Сложность 3 · Сложная
На координатной плоскости отмечены точки A(1; 8), B(1; 0), C(16; 0), D(10; 0), причём D лежит на стороне BC треугольника ABC. Найдите отношение площадей треугольников ABD и ADC (то есть SABD:SADCS_{ABD} : S_{ADC}).
▸Показать ответ и решение
Ответ: 1,5
Треугольники ABD и ADC имеют общую вершину A и основания BD и DC на одной прямой BC, поэтому у них равные высоты из A. Значит, их площади относятся как основания: SABD:SADC=BD:DCS_{ABD} : S_{ADC} = BD : DC. Здесь BD=9BD = 9, DC=6DC = 6 (длины вдоль горизонтали y=0y = 0). Проверка по координатам: SABD=36S_{ABD} = 36, SADC=24S_{ADC} = 24. Отношение SABD:SADC=3:2=1,5S_{ABD} : S_{ADC} = 3 : 2 = 1,5.
№6Сложность 3 · Сложная
На координатной плоскости отмечены точки A(1; 9), B(2; 1), C(12; 1), D(6; 1), причём D лежит на стороне BC треугольника ABC. Найдите отношение площадей треугольников ABD и ADC (то есть SABD:SADCS_{ABD} : S_{ADC}).
▸Показать ответ и решение
Ответ: 2/3
Треугольники ABD и ADC имеют общую вершину A и основания BD и DC на одной прямой BC, поэтому у них равные высоты из A. Значит, их площади относятся как основания: SABD:SADC=BD:DCS_{ABD} : S_{ADC} = BD : DC. Здесь BD=4BD = 4, DC=6DC = 6 (длины вдоль горизонтали y=1y = 1). Проверка по координатам: SABD=16S_{ABD} = 16, SADC=24S_{ADC} = 24. Отношение SABD:SADC=2:3=2/3S_{ABD} : S_{ADC} = 2 : 3 = 2/3.
№7Сложность 3 · Сложная
На координатной плоскости отмечены точки A(1; 9), B(2; 2), C(5; 6). Найдите расстояние от точки A до прямой BC.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 5
Длина BC=(5−2)2+(6−2)2=32+42=25=5BC = \sqrt{(5 - 2)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5. Удвоенная площадь треугольника ABC по координатам: 2S=∣(xC−xB)(yA−yB)−(yC−yB)(xA−xB)∣=252S = |(x_C - x_B)(y_A - y_B) - (y_C - y_B)(x_A - x_B)| = 25. Расстояние от A до прямой BC — это высота треугольника к стороне BC: ρ=2SBC=255=5\rho = \dfrac{2S}{BC} = \dfrac{25}{5} = 5.
№8Сложность 3 · Сложная
На координатной плоскости отмечены вершины прямоугольника A(1; 1), B(13; 1), C(13; 6), D(1; 6). Найдите расстояние от вершины B до диагонали AC.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 4,6154
Стороны прямоугольника AB=12AB = 12 и BC=5BC = 5. Диагональ AC=122+52=169=13AC = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13. В прямоугольном треугольнике ABC (прямой угол B) расстояние от B до гипотенузы AC — это высота, проведённая из прямого угла: h=AB⋅BCAC=12⋅513=6013=4,6154h = \dfrac{AB\cdot BC}{AC} = \dfrac{12\cdot 5}{13} = \dfrac{60}{13} = 4,6154. (Проверка: площадь S=12AB⋅BC=12AC⋅hS = \tfrac12 AB\cdot BC = \tfrac12 AC\cdot h.)
№9Сложность 3 · Сложная
На координатной плоскости отмечены вершины прямоугольника A(1; 2), B(13; 2), C(13; 7), D(1; 7). Найдите расстояние от вершины B до диагонали AC.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 4,6154
Стороны прямоугольника AB=12AB = 12 и BC=5BC = 5. Диагональ AC=122+52=169=13AC = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13. В прямоугольном треугольнике ABC (прямой угол B) расстояние от B до гипотенузы AC — это высота, проведённая из прямого угла: h=AB⋅BCAC=12⋅513=6013=4,6154h = \dfrac{AB\cdot BC}{AC} = \dfrac{12\cdot 5}{13} = \dfrac{60}{13} = 4,6154. (Проверка: площадь S=12AB⋅BC=12AC⋅hS = \tfrac12 AB\cdot BC = \tfrac12 AC\cdot h.)
№10Сложность 3 · Сложная
На координатной плоскости отмечены вершины прямоугольника A(0; 2), B(8; 2), C(8; 8), D(0; 8). Найдите расстояние от вершины B до диагонали AC.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 4,8
Стороны прямоугольника AB=8AB = 8 и BC=6BC = 6. Диагональ AC=82+62=100=10AC = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10. В прямоугольном треугольнике ABC (прямой угол B) расстояние от B до гипотенузы AC — это высота, проведённая из прямого угла: h=AB⋅BCAC=8⋅610=4810=4,8h = \dfrac{AB\cdot BC}{AC} = \dfrac{8\cdot 6}{10} = \dfrac{48}{10} = 4,8. (Проверка: площадь S=12AB⋅BC=12AC⋅hS = \tfrac12 AB\cdot BC = \tfrac12 AC\cdot h.)

Все задачи — авторские, сгенерированы по типовым прототипам задания 25 ОГЭ с проверенными ответами. Решай с моментальной проверкой в тренажёре.

Реши задание 25 онлайн

Прорешай задачи этого типа в тренажёре с моментальной проверкой и разбором.

Решать в тренажёре