ОГЭ Математикатренажёр · 9 класс

Задание 23 · часть 2

Геометрия на вычисление (часть 2)

Что это за тип. Многошаговые задачи на вычисление площадей, длин и отношений, заданные координатами вершин.

Это один из типов задания 23 ОГЭ по математике (часть 2): вычисление длин, углов и площадей с обоснованием.

10 задач с ответами

Задачи: Геометрия на вычисление (часть 2)

Прорешай этот тип задания: ответ и решение — под спойлером у каждой задачи. Фильтр по сложности — выше.

Геометрия на вычисление (часть 2)10

№1Сложность 3 · Сложная
На координатной плоскости отмечены вершины треугольника A(0; 0), B(12; 0), C(0; 5). Найдите длину высоты треугольника, опущенной из вершины C на сторону AB.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 5
Сторона AB лежит на горизонтали y=0y = 0, её длина AB=12AB = 12. Площадь треугольника по формуле через координаты S=12 ∣xA(yB−yC)+xB(yC−yA)+xC(yA−yB)∣=30S = \tfrac12\,|x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)| = 30. Высота из C на AB: h=2SAB=2⋅3012=5h = \dfrac{2S}{AB} = \dfrac{2\cdot 30}{12} = 5. (Геометрически высота — расстояние от C до прямой y=0y = 0, равное 5−0=55 - 0 = 5.)
№2Сложность 3 · Сложная
На координатной плоскости отмечены вершины треугольника A(2; 0), B(14; 0), C(5; 4). Найдите длину высоты треугольника, опущенной из вершины C на сторону AB.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 4
Сторона AB лежит на горизонтали y=0y = 0, её длина AB=12AB = 12. Площадь треугольника по формуле через координаты S=12 ∣xA(yB−yC)+xB(yC−yA)+xC(yA−yB)∣=24S = \tfrac12\,|x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)| = 24. Высота из C на AB: h=2SAB=2⋅2412=4h = \dfrac{2S}{AB} = \dfrac{2\cdot 24}{12} = 4. (Геометрически высота — расстояние от C до прямой y=0y = 0, равное 4−0=44 - 0 = 4.)
№3Сложность 3 · Сложная
На координатной плоскости отмечены вершины треугольника A(2; 1), B(8; 1), C(5; 10). Найдите длину высоты треугольника, опущенной из вершины C на сторону AB.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 9
Сторона AB лежит на горизонтали y=1y = 1, её длина AB=6AB = 6. Площадь треугольника по формуле через координаты S=12 ∣xA(yB−yC)+xB(yC−yA)+xC(yA−yB)∣=27S = \tfrac12\,|x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)| = 27. Высота из C на AB: h=2SAB=2⋅276=9h = \dfrac{2S}{AB} = \dfrac{2\cdot 27}{6} = 9. (Геометрически высота — расстояние от C до прямой y=1y = 1, равное 10−1=910 - 1 = 9.)
№4Сложность 3 · Сложная
На координатной плоскости отмечены точки A(2; 0), B(14; 6), M(10; 4), причём точка M лежит на отрезке AB. В каком отношении точка M делит отрезок AB, считая от точки A (то есть найдите AM : MB)?
▸Показать ответ и решение
Ответ: 2
Найдём длины AM=(10−2)2+(4−0)2=80=8,9443AM = \sqrt{(10 - 2)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{80} = 8,9443 и MB=(14−10)2+(6−4)2=4,4721MB = \sqrt{(14 - 10)^2 + (6 - 4)^2} = 4,4721. Так как M лежит на AB, отношение AM:MB=8,9443:4,4721=2:1=2AM : MB = 8,9443 : 4,4721 = 2 : 1 = 2.
№5Сложность 3 · Сложная
На координатной плоскости отмечены точки A(2; 1), B(30; 15), M(18; 9), причём точка M лежит на отрезке AB. В каком отношении точка M делит отрезок AB, считая от точки A (то есть найдите AM : MB)?
▸Показать ответ и решение
Ответ: 4/3
Найдём длины AM=(18−2)2+(9−1)2=320=17,8885AM = \sqrt{(18 - 2)^2 + (9 - 1)^2} = \sqrt{320} = 17,8885 и MB=(30−18)2+(15−9)2=13,4164MB = \sqrt{(30 - 18)^2 + (15 - 9)^2} = 13,4164. Так как M лежит на AB, отношение AM:MB=17,8885:13,4164=4:3=4/3AM : MB = 17,8885 : 13,4164 = 4 : 3 = 4/3.
№6Сложность 3 · Сложная
На координатной плоскости отмечены точки A(1; 2), B(13; 8), M(9; 6), причём точка M лежит на отрезке AB. В каком отношении точка M делит отрезок AB, считая от точки A (то есть найдите AM : MB)?
▸Показать ответ и решение
Ответ: 2
Найдём длины AM=(9−1)2+(6−2)2=80=8,9443AM = \sqrt{(9 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{80} = 8,9443 и MB=(13−9)2+(8−6)2=4,4721MB = \sqrt{(13 - 9)^2 + (8 - 6)^2} = 4,4721. Так как M лежит на AB, отношение AM:MB=8,9443:4,4721=2:1=2AM : MB = 8,9443 : 4,4721 = 2 : 1 = 2.
№7Сложность 3 · Сложная
На координатной плоскости отмечены вершины треугольника A(0; 2), B(12; 2), C(0; 11). Найдите периметр треугольника ABC.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 36
Катеты лежат вдоль осей: AB=12AB = 12, AC=9AC = 9, угол A прямой. Гипотенуза по теореме Пифагора BC=122+92=144+81=225=15BC = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15. Периметр P=9+12+15=36P = 9 + 12 + 15 = 36.
№8Сложность 3 · Сложная
На координатной плоскости отмечены вершины треугольника A(1; 1), B(13; 1), C(1; 10). Найдите периметр треугольника ABC.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 36
Катеты лежат вдоль осей: AB=12AB = 12, AC=9AC = 9, угол A прямой. Гипотенуза по теореме Пифагора BC=122+92=144+81=225=15BC = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15. Периметр P=9+12+15=36P = 9 + 12 + 15 = 36.
№9Сложность 3 · Сложная
На координатной плоскости отмечены вершины выпуклого четырёхугольника A(1; 3), B(7; 1), C(13; 6), D(6; 8) (в порядке обхода). Найдите его площадь.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 43,5
Площадь по формуле Гаусса (шнуровке): S=12 ∣xAyB−xByA+xByC−xCyB+xCyD−xDyC+xDyA−xAyD∣S = \tfrac12\,|x_A y_B - x_B y_A + x_B y_C - x_C y_B + x_C y_D - x_D y_C + x_D y_A - x_A y_D|. Подставляя координаты, получаем S=43,5S = 43,5. Тот же результат даёт разбиение диагональю на два треугольника.
№10Сложность 3 · Сложная
На координатной плоскости отмечены вершины выпуклого четырёхугольника A(1; 3), B(7; 2), C(13; 4), D(6; 8) (в порядке обхода). Найдите его площадь.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 36,5
Площадь по формуле Гаусса (шнуровке): S=12 ∣xAyB−xByA+xByC−xCyB+xCyD−xDyC+xDyA−xAyD∣S = \tfrac12\,|x_A y_B - x_B y_A + x_B y_C - x_C y_B + x_C y_D - x_D y_C + x_D y_A - x_A y_D|. Подставляя координаты, получаем S=36,5S = 36,5. Тот же результат даёт разбиение диагональю на два треугольника.

Все задачи — авторские, сгенерированы по типовым прототипам задания 23 ОГЭ с проверенными ответами. Решай с моментальной проверкой в тренажёре.

Реши задание 23 онлайн

Прорешай задачи этого типа в тренажёре с моментальной проверкой и разбором.

Решать в тренажёре