График y=|x²+bx+c| и прямая y=m

Найдём нули подмодульного выражения: $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета (или формуле корней) $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Вершина исходной параболы $y = x^2 - 4x + 3$: $x_в = -\dfrac{b}{2a} = 2$, $y_в = -1$ (ниже оси $Ox$, так как между корнями трёхчлен отрицателен). При взятии модуля часть графика ниже оси $Ox$ отражается вверх: получаются два «горба», касающихся оси в точках $x_1$ и $x_2$, с вершинами на высоте $|y_в| = 1$. Прямая $y = m$ пересекает такой график ровно в трёх точках, когда проходит точно через верхушки горбов (выше — 2 точки, ниже верхушек, но выше нуля — 4 точки). Значит $m = 1$.

Найдём нули подмодульного выражения: $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета (или формуле корней) $x_1 = 2$, $x_2 = 4$. Вершина исходной параболы $y = x^2 - 6x + 8$: $x_в = -\dfrac{b}{2a} = 3$, $y_в = -1$ (ниже оси $Ox$, так как между корнями трёхчлен отрицателен). При взятии модуля часть графика ниже оси $Ox$ отражается вверх: получаются два «горба», касающихся оси в точках $x_1$ и $x_2$, с вершинами на высоте $|y_в| = 1$. Прямая $y = m$ пересекает такой график ровно в трёх точках, когда проходит точно через верхушки горбов (выше — 2 точки, ниже верхушек, но выше нуля — 4 точки). Значит $m = 1$.

Найдём нули подмодульного выражения: $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета (или формуле корней) $x_1 = -1$, $x_2 = 3$. Вершина исходной параболы $y = x^2 - 2x - 3$: $x_в = -\dfrac{b}{2a} = 1$, $y_в = -4$ (ниже оси $Ox$, так как между корнями трёхчлен отрицателен). При взятии модуля часть графика ниже оси $Ox$ отражается вверх: получаются два «горба», касающихся оси в точках $x_1$ и $x_2$, с вершинами на высоте $|y_в| = 4$. Прямая $y = m$ пересекает такой график ровно в трёх точках, когда проходит точно через верхушки горбов (выше — 2 точки, ниже верхушек, но выше нуля — 4 точки). Значит $m = 4$.

Найдём нули подмодульного выражения: $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета (или формуле корней) $x_1 = -1$, $x_2 = 3$. Вершина исходной параболы $y = x^2 - 2x - 3$: $x_в = -\dfrac{b}{2a} = 1$, $y_в = -4$ (ниже оси $Ox$, так как между корнями трёхчлен отрицателен). При взятии модуля часть графика ниже оси $Ox$ отражается вверх: получаются два «горба», касающихся оси в точках $x_1$ и $x_2$, с вершинами на высоте $|y_в| = 4$. Прямая $y = 2$ лежит выше оси $Ox$ ($0 < 2 < 4$), то есть ниже верхушек горбов, но выше провала между ними. Она пересекает каждый из двух горбов в двух точках. Итого общих точек: $4$.

Найдём нули подмодульного выражения: $x^2 - 4 = 0$. По теореме Виета (или формуле корней) $x_1 = -2$, $x_2 = 2$. Вершина исходной параболы $y = x^2 - 4$: $x_в = -\dfrac{b}{2a} = 0$, $y_в = -4$ (ниже оси $Ox$, так как между корнями трёхчлен отрицателен). При взятии модуля часть графика ниже оси $Ox$ отражается вверх: получаются два «горба», касающихся оси в точках $x_1$ и $x_2$, с вершинами на высоте $|y_в| = 4$. Прямая $y = m$ пересекает такой график ровно в трёх точках, когда проходит точно через верхушки горбов (выше — 2 точки, ниже верхушек, но выше нуля — 4 точки). Значит $m = 4$.

Найдём нули подмодульного выражения: $x^2 - 4 = 0$. По теореме Виета (или формуле корней) $x_1 = -2$, $x_2 = 2$. Вершина исходной параболы $y = x^2 - 4$: $x_в = -\dfrac{b}{2a} = 0$, $y_в = -4$ (ниже оси $Ox$, так как между корнями трёхчлен отрицателен). При взятии модуля часть графика ниже оси $Ox$ отражается вверх: получаются два «горба», касающихся оси в точках $x_1$ и $x_2$, с вершинами на высоте $|y_в| = 4$. Прямая $y = 3$ лежит выше оси $Ox$ ($0 < 3 < 4$), то есть ниже верхушек горбов, но выше провала между ними. Она пересекает каждый из двух горбов в двух точках. Итого общих точек: $4$.

Найдём нули подмодульного выражения: $x^2 - 4x = 0$. По теореме Виета (или формуле корней) $x_1 = 0$, $x_2 = 4$. Вершина исходной параболы $y = x^2 - 4x$: $x_в = -\dfrac{b}{2a} = 2$, $y_в = -4$ (ниже оси $Ox$, так как между корнями трёхчлен отрицателен). При взятии модуля часть графика ниже оси $Ox$ отражается вверх: получаются два «горба», касающихся оси в точках $x_1$ и $x_2$, с вершинами на высоте $|y_в| = 4$. Прямая $y = m$ пересекает такой график ровно в трёх точках, когда проходит точно через верхушки горбов (выше — 2 точки, ниже верхушек, но выше нуля — 4 точки). Значит $m = 4$.

Найдём нули подмодульного выражения: $x^2 - 4x = 0$. По теореме Виета (или формуле корней) $x_1 = 0$, $x_2 = 4$. Вершина исходной параболы $y = x^2 - 4x$: $x_в = -\dfrac{b}{2a} = 2$, $y_в = -4$ (ниже оси $Ox$, так как между корнями трёхчлен отрицателен). При взятии модуля часть графика ниже оси $Ox$ отражается вверх: получаются два «горба», касающихся оси в точках $x_1$ и $x_2$, с вершинами на высоте $|y_в| = 4$. Прямая $y = 2$ лежит выше оси $Ox$ ($0 < 2 < 4$), то есть ниже верхушек горбов, но выше провала между ними. Она пересекает каждый из двух горбов в двух точках. Итого общих точек: $4$.