ОГЭ Математикатренажёр · 9 класс

Задание 22 · часть 2

Графики функций с параметром (часть 2)

Что это за тип. Исследование функции и положения прямой y = m относительно параболы: значение параметра и число точек пересечения.

Это один из типов задания 22 ОГЭ по математике (часть 2): график функции с параметром — парабола, гипербола, модуль.

10 задач с ответами

Задачи: Графики функций с параметром (часть 2)

Прорешай этот тип задания: ответ и решение — под спойлером у каждой задачи. Фильтр по сложности — выше.

Графики функций с параметром (часть 2)10

№1Сложность 3 · Сложная
При каком значении mm прямая y=my = m имеет с параболой y=x2+2x+5y = x^2 + 2x + 5 ровно одну общую точку?
▸Показать ответ и решение
Ответ: 4
Приравняем: x2+2x+5=mx^2 + 2x + 5 = m, то есть x2+2x+(5−m)=0x^2 + 2x + (5 - m) = 0. Одна общая точка ⇔ дискриминант равен нулю: D=22−4(5−m)=4−20+4m=0D = 2^2 - 4(5 - m) = 4 - 20 + 4m = 0, откуда m=20−44=4m = \dfrac{20 - 4}{4} = 4. Это ордината вершины параболы yв=c−b24=4y_в = c - \dfrac{b^2}{4} = 4.
№2Сложность 3 · Сложная
При каком значении mm прямая y=my = m имеет с параболой y=x2−4x−1y = x^2 - 4x - 1 ровно одну общую точку?
▸Показать ответ и решение
Ответ: -5
Приравняем: x2−4x−1=mx^2 - 4x - 1 = m, то есть x2−4x+(−1−m)=0x^2 - 4x + (-1 - m) = 0. Одна общая точка ⇔ дискриминант равен нулю: D=−42−4(−1−m)=16−−4+4m=0D = -4^2 - 4(-1 - m) = 16 - -4 + 4m = 0, откуда m=−4−164=−5m = \dfrac{-4 - 16}{4} = -5. Это ордината вершины параболы yв=c−b24=−5y_в = c - \dfrac{b^2}{4} = -5.
№3Сложность 3 · Сложная
При каком значении mm прямая y=my = m имеет с параболой y=x2−4x+1y = x^2 - 4x + 1 ровно одну общую точку?
▸Показать ответ и решение
Ответ: -3
Приравняем: x2−4x+1=mx^2 - 4x + 1 = m, то есть x2−4x+(1−m)=0x^2 - 4x + (1 - m) = 0. Одна общая точка ⇔ дискриминант равен нулю: D=−42−4(1−m)=16−4+4m=0D = -4^2 - 4(1 - m) = 16 - 4 + 4m = 0, откуда m=4−164=−3m = \dfrac{4 - 16}{4} = -3. Это ордината вершины параболы yв=c−b24=−3y_в = c - \dfrac{b^2}{4} = -3.
№4Сложность 3 · Сложная
Парабола имеет вершину в точке (0;−1)(0; -1) и проходит через точку (1;−2)(1; -2). Найдите старший коэффициент aa этой параболы.
▸Показать ответ и решение
Ответ: -1
Уравнение параболы с вершиной (0;−1)(0; -1): y=a(x−0)2+−1y = a(x - 0)^2 + -1. Подставим точку (1;−2)(1; -2): −2=a(1−0)2+−1=a⋅1+−1-2 = a(1 - 0)^2 + -1 = a\cdot 1 + -1. Тогда a⋅1=−1a\cdot 1 = -1, откуда a=−11=−1a = \dfrac{-1}{1} = -1.
№5Сложность 3 · Сложная
Парабола имеет вершину в точке (4;−4)(4; -4) и проходит через точку (5;−5)(5; -5). Найдите старший коэффициент aa этой параболы.
▸Показать ответ и решение
Ответ: -1
Уравнение параболы с вершиной (4;−4)(4; -4): y=a(x−4)2+−4y = a(x - 4)^2 + -4. Подставим точку (5;−5)(5; -5): −5=a(5−4)2+−4=a⋅1+−4-5 = a(5 - 4)^2 + -4 = a\cdot 1 + -4. Тогда a⋅1=−1a\cdot 1 = -1, откуда a=−11=−1a = \dfrac{-1}{1} = -1.
№6Сложность 3 · Сложная
Сколько общих точек имеют парабола y=x2+2x−3y = x^2 + 2x - 3 и прямая y=−9y = -9?
▸Показать ответ и решение
Ответ: 0
Приравняем: x2+2x−3=−9x^2 + 2x - 3 = -9, то есть x2+2x+(6)=0x^2 + 2x + (6) = 0. Дискриминант D=22−4⋅(6)=4−24=−20D = 2^2 - 4\cdot(6) = 4 - 24 = -20. Так как D<0D < 0, уравнение имеет ни одного корня, значит общих точек 0.
№7Сложность 3 · Сложная
Сколько общих точек имеют парабола y=x2+2x+3y = x^2 + 2x + 3 и прямая y=2y = 2?
▸Показать ответ и решение
Ответ: 1
Приравняем: x2+2x+3=2x^2 + 2x + 3 = 2, то есть x2+2x+(1)=0x^2 + 2x + (1) = 0. Дискриминант D=22−4⋅(1)=4−4=0D = 2^2 - 4\cdot(1) = 4 - 4 = 0. Так как D=0D = 0, уравнение имеет один корень, значит общих точек 1.
№8Сложность 3 · Сложная
Сколько общих точек имеют парабола y=x2−6x−2y = x^2 - 6x - 2 и прямая y=−12y = -12?
▸Показать ответ и решение
Ответ: 0
Приравняем: x2−6x−2=−12x^2 - 6x - 2 = -12, то есть x2−6x+(10)=0x^2 - 6x + (10) = 0. Дискриминант D=−62−4⋅(10)=36−40=−4D = -6^2 - 4\cdot(10) = 36 - 40 = -4. Так как D<0D < 0, уравнение имеет ни одного корня, значит общих точек 0.
№9Сложность 3 · Сложная
При каком значении aa график функции y=ax2+2xy = a x^2 + 2x проходит через точку (1;9)(1; 9)?
▸Показать ответ и решение
Ответ: 7
Подставим координаты точки в уравнение: 9=a⋅12+2⋅1=1a+29 = a\cdot 1^2 + 2\cdot 1 = 1a + 2. Отсюда 1a=71a = 7, значит a=71=7a = \dfrac{7}{1} = 7.
№10Сложность 3 · Сложная
При каком значении aa график функции y=ax2+1xy = a x^2 + 1x проходит через точку (2;8)(2; 8)?
▸Показать ответ и решение
Ответ: 1,5
Подставим координаты точки в уравнение: 8=a⋅22+1⋅2=4a+28 = a\cdot 2^2 + 1\cdot 2 = 4a + 2. Отсюда 4a=64a = 6, значит a=64=1,5a = \dfrac{6}{4} = 1,5.

Все задачи — авторские, сгенерированы по типовым прототипам задания 22 ОГЭ с проверенными ответами. Решай с моментальной проверкой в тренажёре.

Другие типы

Ещё типы задания 22

График гиперболы с выколотой точкойКусочно-заданная функция: график и исследованиеГрафик y=|x²+bx+c| и прямая y=m

Реши задание 22 онлайн

Прорешай задачи этого типа в тренажёре с моментальной проверкой и разбором.

Решать в тренажёре