Кусочно-заданная функция: график и исследование

На среднем промежутке $-2 < x < 2$ функция — парабола $y = -x^2 + 3$ с ветвями вниз и вершиной в точке $(0;\ 3)$; вершина лежит внутри промежутка, поэтому это локальный максимум, равный $3$. Боковые лучи ($y = x + 1$ при $x \le -2$ и $y = -x + 1$ при $x \ge 2$) от точек стыковки $(\pm2;\ -1)$ только убывают (уходят вниз), их значения не превосходят $-1 < 3$. Значит наибольшее значение функции достигается в вершине параболы и равно $3$.

На промежутке $-2 < x < 2$ график — парабола $y = -x^2 + 3$ с вершиной $(0;\ 3)$ и значениями на концах $-1$. Прямая $y = 2$ удовлетворяет $-1 < 2 < 3$, поэтому пересекает параболу-шапку в двух точках. Боковые лучи лежат не выше $-1$, то есть ниже прямой $y = 2$, и её не пересекают. Итого общих точек: $2$.

На среднем промежутке $-2 < x < 2$ функция — парабола $y = -x^2 + 4$ с ветвями вниз и вершиной в точке $(0;\ 4)$; вершина лежит внутри промежутка, поэтому это локальный максимум, равный $4$. Боковые лучи ($y = x + 2$ при $x \le -2$ и $y = -x + 2$ при $x \ge 2$) от точек стыковки $(\pm2;\ 0)$ только убывают (уходят вниз), их значения не превосходят $0 < 4$. Значит наибольшее значение функции достигается в вершине параболы и равно $4$.

На промежутке $-2 < x < 2$ график — парабола $y = -x^2 + 4$ с вершиной $(0;\ 4)$ и значениями на концах $0$. Прямая $y = 2$ удовлетворяет $0 < 2 < 4$, поэтому пересекает параболу-шапку в двух точках. Боковые лучи лежат не выше $0$, то есть ниже прямой $y = 2$, и её не пересекают. Итого общих точек: $2$.