ОГЭ Математикатренажёр · 9 класс

Задание 16 · часть 1

Окружность: касательная, радиус, хорда

Что это за тип. Касательная перпендикулярна радиусу (прямоугольный треугольник OAP); радиус и диаметр; расстояние от центра до хорды (Пифагор).

Это один из типов задания 16 ОГЭ по математике (часть 1): вписанные и центральные углы, касательная, хорда.

32 задач с ответами

Задачи: Окружность: касательная, радиус, хорда

Прорешай этот тип задания: ответ и решение — под спойлером у каждой задачи. Фильтр по сложности — выше.

Окружность: касательная, радиус, хорда32

№1Сложность 1 · База
ABOOA
Диаметр окружности равен 14. Найдите радиус этой окружности.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 7
Радиус равен половине диаметра: R=142=7R=\tfrac{14}{2}=7.
№2Сложность 1 · База
ABOOA
Диаметр окружности равен 26. Найдите радиус этой окружности.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 13
Радиус равен половине диаметра: R=262=13R=\tfrac{26}{2}=13.
№3Сложность 1 · База
ABOOA
Диаметр окружности равен 8. Найдите радиус этой окружности.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 4
Радиус равен половине диаметра: R=82=4R=\tfrac{8}{2}=4.
№4Сложность 1 · База
ABOOA
Диаметр окружности равен 30. Найдите радиус этой окружности.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 15
Радиус равен половине диаметра: R=302=15R=\tfrac{30}{2}=15.
№5Сложность 1 · База
ABOOA
Диаметр окружности равен 18. Найдите радиус этой окружности.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 9
Радиус равен половине диаметра: R=182=9R=\tfrac{18}{2}=9.
№6Сложность 1 · База
ABOOA
Диаметр окружности равен 24. Найдите радиус этой окружности.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 12
Радиус равен половине диаметра: R=242=12R=\tfrac{24}{2}=12.
№7Сложность 1 · База
ABOOA
Радиус окружности равен 5. Найдите диаметр этой окружности.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 10
Диаметр равен удвоенному радиусу: d=2⋅5=10d=2\cdot 5=10.
№8Сложность 1 · База
ABOOA
Радиус окружности равен 9. Найдите диаметр этой окружности.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 18
Диаметр равен удвоенному радиусу: d=2⋅9=18d=2\cdot 9=18.
№9Сложность 1 · База
ABOOA
Радиус окружности равен 12. Найдите диаметр этой окружности.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 24
Диаметр равен удвоенному радиусу: d=2⋅12=24d=2\cdot 12=24.
№10Сложность 1 · База
ABOOA
Радиус окружности равен 7. Найдите диаметр этой окружности.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 14
Диаметр равен удвоенному радиусу: d=2⋅7=14d=2\cdot 7=14.
№11Сложность 1 · База
ABOOA
Радиус окружности равен 15. Найдите диаметр этой окружности.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 30
Диаметр равен удвоенному радиусу: d=2⋅15=30d=2\cdot 15=30.
№12Сложность 1 · База
ABOOA
Радиус окружности равен 11. Найдите диаметр этой окружности.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 22
Диаметр равен удвоенному радиусу: d=2⋅11=22d=2\cdot 11=22.
№13Сложность 2 · Средняя
ABOOA
Прямая AP касается окружности с центром O в точке A. Угол APO равен 30°. Найдите угол AOP (в градусах).
▸Показать ответ и решение
Ответ: 60
Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому угол OAP равен 90°. В прямоугольном треугольнике OAP сумма острых углов равна 90°, значит ∠AOP=90°−30°=60°\angle AOP=90°-30°=60°.
№14Сложность 2 · Средняя
ABOOA
Прямая AP касается окружности с центром O в точке A. Угол APO равен 40°. Найдите угол AOP (в градусах).
▸Показать ответ и решение
Ответ: 50
Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому угол OAP равен 90°. В прямоугольном треугольнике OAP сумма острых углов равна 90°, значит ∠AOP=90°−40°=50°\angle AOP=90°-40°=50°.
№15Сложность 2 · Средняя
ABOOA
Прямая AP касается окружности с центром O в точке A. Угол APO равен 25°. Найдите угол AOP (в градусах).
▸Показать ответ и решение
Ответ: 65
Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому угол OAP равен 90°. В прямоугольном треугольнике OAP сумма острых углов равна 90°, значит ∠AOP=90°−25°=65°\angle AOP=90°-25°=65°.
№16Сложность 2 · Средняя
ABOOA
Прямая AP касается окружности с центром O в точке A. Угол APO равен 55°. Найдите угол AOP (в градусах).
▸Показать ответ и решение
Ответ: 35
Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому угол OAP равен 90°. В прямоугольном треугольнике OAP сумма острых углов равна 90°, значит ∠AOP=90°−55°=35°\angle AOP=90°-55°=35°.
№17Сложность 2 · Средняя
ABOOA
Прямая AP касается окружности с центром O в точке A. Угол APO равен 38°. Найдите угол AOP (в градусах).
▸Показать ответ и решение
Ответ: 52
Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому угол OAP равен 90°. В прямоугольном треугольнике OAP сумма острых углов равна 90°, значит ∠AOP=90°−38°=52°\angle AOP=90°-38°=52°.
№18Сложность 2 · Средняя
ABOOA
Прямая AP касается окружности с центром O в точке A. Угол APO равен 42°. Найдите угол AOP (в градусах).
▸Показать ответ и решение
Ответ: 48
Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому угол OAP равен 90°. В прямоугольном треугольнике OAP сумма острых углов равна 90°, значит ∠AOP=90°−42°=48°\angle AOP=90°-42°=48°.
№19Сложность 3 · Сложная
ABOOA
Прямая AP касается окружности с центром O радиуса 3 в точке A. Длина отрезка касательной AP равна 4. Найдите расстояние OP от центра до точки P.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 5
Радиус OA перпендикулярен касательной AP, поэтому треугольник OAP прямоугольный с прямым углом при A. По теореме Пифагора OP=OA2+AP2=32+42=9+16=25=5OP=\sqrt{OA^2+AP^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
№20Сложность 3 · Сложная
ABOOA
Прямая AP касается окружности с центром O радиуса 6 в точке A. Длина отрезка касательной AP равна 8. Найдите расстояние OP от центра до точки P.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 10
Радиус OA перпендикулярен касательной AP, поэтому треугольник OAP прямоугольный с прямым углом при A. По теореме Пифагора OP=OA2+AP2=62+82=36+64=100=10OP=\sqrt{OA^2+AP^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10.
№21Сложность 3 · Сложная
ABOOA
Прямая AP касается окружности с центром O радиуса 5 в точке A. Длина отрезка касательной AP равна 12. Найдите расстояние OP от центра до точки P.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 13
Радиус OA перпендикулярен касательной AP, поэтому треугольник OAP прямоугольный с прямым углом при A. По теореме Пифагора OP=OA2+AP2=52+122=25+144=169=13OP=\sqrt{OA^2+AP^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13.
№22Сложность 3 · Сложная
ABOOA
Прямая AP касается окружности с центром O радиуса 8 в точке A. Длина отрезка касательной AP равна 15. Найдите расстояние OP от центра до точки P.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 17
Радиус OA перпендикулярен касательной AP, поэтому треугольник OAP прямоугольный с прямым углом при A. По теореме Пифагора OP=OA2+AP2=82+152=64+225=289=17OP=\sqrt{OA^2+AP^2}=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17.
№23Сложность 3 · Сложная
ABOOA
Прямая AP касается окружности с центром O радиуса 9 в точке A. Длина отрезка касательной AP равна 12. Найдите расстояние OP от центра до точки P.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 15
Радиус OA перпендикулярен касательной AP, поэтому треугольник OAP прямоугольный с прямым углом при A. По теореме Пифагора OP=OA2+AP2=92+122=81+144=225=15OP=\sqrt{OA^2+AP^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15.
№24Сложность 3 · Сложная
ABOOхорда
Радиус окружности равен 5, длина хорды равна 8. Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 3
Перпендикуляр из центра делит хорду пополам, полухорда равна 82=4\tfrac{8}{2}=4. По теореме Пифагора расстояние d=R2−(хорда/2)2=52−42=25−16=9=3d=\sqrt{R^2-(\text{хорда}/2)^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3.
№25Сложность 3 · Сложная
ABOOхорда
Радиус окружности равен 10, длина хорды равна 16. Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 6
Перпендикуляр из центра делит хорду пополам, полухорда равна 162=8\tfrac{16}{2}=8. По теореме Пифагора расстояние d=R2−(хорда/2)2=102−82=100−64=36=6d=\sqrt{R^2-(\text{хорда}/2)^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6.
№26Сложность 3 · Сложная
ABOOхорда
Радиус окружности равен 13, длина хорды равна 24. Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 5
Перпендикуляр из центра делит хорду пополам, полухорда равна 242=12\tfrac{24}{2}=12. По теореме Пифагора расстояние d=R2−(хорда/2)2=132−122=169−144=25=5d=\sqrt{R^2-(\text{хорда}/2)^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5.
№27Сложность 3 · Сложная
ABOOхорда
Радиус окружности равен 17, длина хорды равна 30. Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 8
Перпендикуляр из центра делит хорду пополам, полухорда равна 302=15\tfrac{30}{2}=15. По теореме Пифагора расстояние d=R2−(хорда/2)2=172−152=289−225=64=8d=\sqrt{R^2-(\text{хорда}/2)^2}=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{289-225}=\sqrt{64}=8.
№28Сложность 3 · Сложная
ABOOхорда
Радиус окружности равен 15, длина хорды равна 24. Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 9
Перпендикуляр из центра делит хорду пополам, полухорда равна 242=12\tfrac{24}{2}=12. По теореме Пифагора расстояние d=R2−(хорда/2)2=152−122=225−144=81=9d=\sqrt{R^2-(\text{хорда}/2)^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{225-144}=\sqrt{81}=9.
№29Сложность 3 · Сложная
ABOOхорда
Радиус окружности равен 5, расстояние от центра окружности до хорды равно 3. Найдите длину хорды.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 8
Половина хорды по теореме Пифагора равна R2−d2=52−32=16=4\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4. Длина хорды вдвое больше: 2⋅4=82\cdot 4=8.
№30Сложность 3 · Сложная
ABOOхорда
Радиус окружности равен 10, расстояние от центра окружности до хорды равно 6. Найдите длину хорды.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 16
Половина хорды по теореме Пифагора равна R2−d2=102−62=64=8\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8. Длина хорды вдвое больше: 2⋅8=162\cdot 8=16.
№31Сложность 3 · Сложная
ABOOхорда
Радиус окружности равен 13, расстояние от центра окружности до хорды равно 5. Найдите длину хорды.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 24
Половина хорды по теореме Пифагора равна R2−d2=132−52=144=12\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12. Длина хорды вдвое больше: 2⋅12=242\cdot 12=24.
№32Сложность 3 · Сложная
ABOOхорда
Радиус окружности равен 17, расстояние от центра окружности до хорды равно 8. Найдите длину хорды.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 30
Половина хорды по теореме Пифагора равна R2−d2=172−82=225=15\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{225}=15. Длина хорды вдвое больше: 2⋅15=302\cdot 15=30.

Все задачи — авторские, сгенерированы по типовым прототипам задания 16 ОГЭ с проверенными ответами. Решай с моментальной проверкой в тренажёре.

Другие типы

Ещё типы задания 16

Окружность: углыОкружность: вписанный четырёхугольник

Реши задание 16 онлайн

Прорешай задачи этого типа в тренажёре с моментальной проверкой и разбором.

Решать в тренажёре