Неравенства методом интервалов (часть 2)

Разложим левую часть на множители, найдя корни квадратного трёхчлена. Сумма корней $-1 + 5 = 4$, произведение $-1\cdot5 = -5$ (теорема Виета), поэтому $x^2 - 4x - 5 = (x + 1)(x - 5)$. Корни $x_1 = -1$, $x_2 = 5$ разбивают числовую прямую на три промежутка. Ветви параболы направлены вверх (старший коэффициент $+1$), значит трёхчлен положителен вне корней и отрицателен между ними. Неравенство ≥ 0 выполнено вне корней, корни входят в ответ (неравенство нестрогое). Ответ: $(−∞; -1] ∪ [5; +∞)$.

Разложим левую часть на множители, найдя корни квадратного трёхчлена. Сумма корней $-5 + 6 = 1$, произведение $-5\cdot6 = -30$ (теорема Виета), поэтому $x^2 - x - 30 = (x + 5)(x - 6)$. Корни $x_1 = -5$, $x_2 = 6$ разбивают числовую прямую на три промежутка. Ветви параболы направлены вверх (старший коэффициент $+1$), значит трёхчлен положителен вне корней и отрицателен между ними. Неравенство ≤ 0 выполнено между корнями, корни входят в ответ (неравенство нестрогое). Ответ: $[-5; 6]$.

Разложим левую часть на множители, найдя корни квадратного трёхчлена. Сумма корней $-1 + 0 = -1$, произведение $-1\cdot0 = 0$ (теорема Виета), поэтому $x^2 + x = (x + 1)x$. Корни $x_1 = -1$, $x_2 = 0$ разбивают числовую прямую на три промежутка. Ветви параболы направлены вверх (старший коэффициент $+1$), значит трёхчлен положителен вне корней и отрицателен между ними. Неравенство > 0 выполнено вне корней, сами корни не входят (неравенство строгое). Ответ: $(−∞; -1) ∪ (0; +∞)$.

Разложим левую часть на множители, найдя корни квадратного трёхчлена. Сумма корней $0 + 2 = 2$, произведение $0\cdot2 = 0$ (теорема Виета), поэтому $x^2 - 2x = x(x - 2)$. Корни $x_1 = 0$, $x_2 = 2$ разбивают числовую прямую на три промежутка. Ветви параболы направлены вверх (старший коэффициент $+1$), значит трёхчлен положителен вне корней и отрицателен между ними. Неравенство < 0 выполнено между корнями, сами корни не входят (неравенство строгое). Ответ: $(0; 2)$.