Неравенства методом интервалов (часть 2)

Разложим левую часть на множители, найдя корни квадратного трёхчлена. Сумма корней $-1 + 3 = 2$, произведение $-1\cdot3 = -3$ (теорема Виета), поэтому $x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)$. Корни $x_1 = -1$, $x_2 = 3$ разбивают числовую прямую на три промежутка. Ветви параболы направлены вверх (старший коэффициент $+1$), значит трёхчлен положителен вне корней и отрицателен между ними. Неравенство > 0 выполнено вне корней, сами корни не входят (неравенство строгое). Ответ: $(−∞; -1) ∪ (3; +∞)$.

Разложим левую часть на множители, найдя корни квадратного трёхчлена. Сумма корней $-4 + -2 = -6$, произведение $-4\cdot-2 = 8$ (теорема Виета), поэтому $x^2 + 6x + 8 = (x + 4)(x + 2)$. Корни $x_1 = -4$, $x_2 = -2$ разбивают числовую прямую на три промежутка. Ветви параболы направлены вверх (старший коэффициент $+1$), значит трёхчлен положителен вне корней и отрицателен между ними. Неравенство < 0 выполнено между корнями, сами корни не входят (неравенство строгое). Ответ: $(-4; -2)$.

Разложим левую часть на множители, найдя корни квадратного трёхчлена. Сумма корней $-1 + 5 = 4$, произведение $-1\cdot5 = -5$ (теорема Виета), поэтому $x^2 - 4x - 5 = (x + 1)(x - 5)$. Корни $x_1 = -1$, $x_2 = 5$ разбивают числовую прямую на три промежутка. Ветви параболы направлены вверх (старший коэффициент $+1$), значит трёхчлен положителен вне корней и отрицателен между ними. Неравенство ≥ 0 выполнено вне корней, корни входят в ответ (неравенство нестрогое). Ответ: $(−∞; -1] ∪ [5; +∞)$.

Разложим левую часть на множители, найдя корни квадратного трёхчлена. Сумма корней $-5 + -2 = -7$, произведение $-5\cdot-2 = 10$ (теорема Виета), поэтому $x^2 + 7x + 10 = (x + 5)(x + 2)$. Корни $x_1 = -5$, $x_2 = -2$ разбивают числовую прямую на три промежутка. Ветви параболы направлены вверх (старший коэффициент $+1$), значит трёхчлен положителен вне корней и отрицателен между ними. Неравенство ≤ 0 выполнено между корнями, корни входят в ответ (неравенство нестрогое). Ответ: $[-5; -2]$.

ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $x \ne 2$. Нули числителя и знаменателя: $x = -2$ (числитель) и $x = 2$ (знаменатель). Отметим их на прямой: $-2$ и $2$. Методом интервалов определяем знак дроби: она положительна при $x < -2$ и при $x > 2$, отрицательна между точками $-2$ и $2$. Неравенство > 0 выполнено вне промежутка между точками. Точка $x = 2$ всегда выколота (знаменатель). Так как неравенство строгое, нуль числителя тоже не включаем. Ответ: $(−∞; -2) ∪ (2; +∞)$.

ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $x \ne -5$. Нули числителя и знаменателя: $x = 3$ (числитель) и $x = -5$ (знаменатель). Отметим их на прямой: $-5$ и $3$. Методом интервалов определяем знак дроби: она положительна при $x < -5$ и при $x > 3$, отрицательна между точками $-5$ и $3$. Неравенство < 0 выполнено между точками. Точка $x = -5$ всегда выколота (знаменатель). Так как неравенство строгое, нуль числителя тоже не включаем. Ответ: $(-5; 3)$.

ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $x \ne 4$. Нули числителя и знаменателя: $x = 0$ (числитель) и $x = 4$ (знаменатель). Отметим их на прямой: $0$ и $4$. Методом интервалов определяем знак дроби: она положительна при $x < 0$ и при $x > 4$, отрицательна между точками $0$ и $4$. Неравенство ≥ 0 выполнено вне промежутка между точками. Точка $x = 4$ всегда выколота (знаменатель). Нуль числителя $x = 0$ включается в ответ (дробь равна нулю). Ответ: $(−∞; 0] ∪ (4; +∞)$.

ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $x \ne 1$. Нули числителя и знаменателя: $x = -3$ (числитель) и $x = 1$ (знаменатель). Отметим их на прямой: $-3$ и $1$. Методом интервалов определяем знак дроби: она положительна при $x < -3$ и при $x > 1$, отрицательна между точками $-3$ и $1$. Неравенство ≤ 0 выполнено между точками. Точка $x = 1$ всегда выколота (знаменатель). Нуль числителя $x = -3$ включается в ответ (дробь равна нулю). Ответ: $[-3; 1)$.