ОГЭ Математикатренажёр · 9 класс

Задание 20 · часть 2

Уравнения, неравенства, упрощения (часть 2)

Что это за тип. Дробно-рациональные и квадратные уравнения с целыми корнями, системы уравнений, упрощение выражений с полным решением.

Это один из типов задания 20 ОГЭ по математике (часть 2): уравнения, неравенства и преобразование выражений.

18 задач с ответами

Задачи: Уравнения, неравенства, упрощения (часть 2)

Прорешай этот тип задания: ответ и решение — под спойлером у каждой задачи. Фильтр по сложности — выше.

Уравнения, неравенства, упрощения (часть 2)18

№1Сложность 3 · Сложная
Решите уравнение x2−9x+20=0x^2 - 9x + 20 = 0.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 4; 5
Найдём дискриминант: D=(−9)2−4⋅1⋅(20)=81−80=1D = (-9)^2 - 4\cdot 1\cdot(20) = 81 - 80 = 1. Так как D=1≥0D = 1 \ge 0, корни x1,2=−(−9)±12=9±12x_{1,2} = \dfrac{-(-9) \pm \sqrt{1}}{2} = \dfrac{9 \pm 1}{2}. Получаем x1=4x_1 = 4, x2=5x_2 = 5. Проверка по теореме Виета: x1+x2=9=9x_1 + x_2 = 9 = 9, x1⋅x2=20=20x_1\cdot x_2 = 20 = 20 — верно.
№2Сложность 3 · Сложная
Решите уравнение x2−5x−14=0x^2 - 5x - 14 = 0.
▸Показать ответ и решение
Ответ: -2; 7
Найдём дискриминант: D=(−5)2−4⋅1⋅(−14)=25−−56=81D = (-5)^2 - 4\cdot 1\cdot(-14) = 25 - -56 = 81. Так как D=81≥0D = 81 \ge 0, корни x1,2=−(−5)±812=5±92x_{1,2} = \dfrac{-(-5) \pm \sqrt{81}}{2} = \dfrac{5 \pm 9}{2}. Получаем x1=−2x_1 = -2, x2=7x_2 = 7. Проверка по теореме Виета: x1+x2=5=5x_1 + x_2 = 5 = 5, x1⋅x2=−14=−14x_1\cdot x_2 = -14 = -14 — верно.
№3Сложность 3 · Сложная
Решите уравнение x2−x−56=0x^2 - x - 56 = 0.
▸Показать ответ и решение
Ответ: -7; 8
Найдём дискриминант: D=(−1)2−4⋅1⋅(−56)=1−−224=225D = (-1)^2 - 4\cdot 1\cdot(-56) = 1 - -224 = 225. Так как D=225≥0D = 225 \ge 0, корни x1,2=−(−1)±2252=1±152x_{1,2} = \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{225}}{2} = \dfrac{1 \pm 15}{2}. Получаем x1=−7x_1 = -7, x2=8x_2 = 8. Проверка по теореме Виета: x1+x2=1=1x_1 + x_2 = 1 = 1, x1⋅x2=−56=−56x_1\cdot x_2 = -56 = -56 — верно.
№4Сложность 3 · Сложная
Решите уравнение x2+3x−10=0x^2 + 3x - 10 = 0.
▸Показать ответ и решение
Ответ: -5; 2
Найдём дискриминант: D=(3)2−4⋅1⋅(−10)=9−−40=49D = (3)^2 - 4\cdot 1\cdot(-10) = 9 - -40 = 49. Так как D=49≥0D = 49 \ge 0, корни x1,2=−(3)±492=−3±72x_{1,2} = \dfrac{-(3) \pm \sqrt{49}}{2} = \dfrac{-3 \pm 7}{2}. Получаем x1=−5x_1 = -5, x2=2x_2 = 2. Проверка по теореме Виета: x1+x2=−3=−3x_1 + x_2 = -3 = -3, x1⋅x2=−10=−10x_1\cdot x_2 = -10 = -10 — верно.
№5Сложность 3 · Сложная
Решите уравнение x2−11x+30x−6=0\dfrac{x^2 - 11x + 30}{x - 6} = 0.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 5
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель нулю не равен. ОДЗ: x≠6x \ne 6. Числитель: x2−11x+30=0x^2 - 11x + 30 = 0. По теореме Виета корни x1=6x_1 = 6 и x2=5x_2 = 5 (так как 6+5=116+5=11, 6⋅5=306\cdot5=30). Корень x=6x = 6 обращает знаменатель в ноль и является посторонним. Остаётся x=5x = 5.
№6Сложность 3 · Сложная
Решите уравнение x2−15x+56x−8=0\dfrac{x^2 - 15x + 56}{x - 8} = 0.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 7
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель нулю не равен. ОДЗ: x≠8x \ne 8. Числитель: x2−15x+56=0x^2 - 15x + 56 = 0. По теореме Виета корни x1=8x_1 = 8 и x2=7x_2 = 7 (так как 8+7=158+7=15, 8⋅7=568\cdot7=56). Корень x=8x = 8 обращает знаменатель в ноль и является посторонним. Остаётся x=7x = 7.
№7Сложность 3 · Сложная
Решите уравнение x2−11x+18x−2=0\dfrac{x^2 - 11x + 18}{x - 2} = 0.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 9
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель нулю не равен. ОДЗ: x≠2x \ne 2. Числитель: x2−11x+18=0x^2 - 11x + 18 = 0. По теореме Виета корни x1=2x_1 = 2 и x2=9x_2 = 9 (так как 2+9=112+9=11, 2⋅9=182\cdot9=18). Корень x=2x = 2 обращает знаменатель в ноль и является посторонним. Остаётся x=9x = 9.
№8Сложность 3 · Сложная
Решите уравнение x2−7x+12x−4=0\dfrac{x^2 - 7x + 12}{x - 4} = 0.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 3
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель нулю не равен. ОДЗ: x≠4x \ne 4. Числитель: x2−7x+12=0x^2 - 7x + 12 = 0. По теореме Виета корни x1=4x_1 = 4 и x2=3x_2 = 3 (так как 4+3=74+3=7, 4⋅3=124\cdot3=12). Корень x=4x = 4 обращает знаменатель в ноль и является посторонним. Остаётся x=3x = 3.
№9Сложность 3 · Сложная
Решите уравнение −28x−8=x+3\dfrac{-28}{x - 8} = x + 3.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 1; 4
ОДЗ: x≠8x \ne 8. Умножим обе части на (x−8)(x - 8): −28=(x+3)(x−8)-28 = (x + 3)(x - 8). Раскрыв скобки: −28=x2−5x+−24-28 = x^2 - 5x + -24, откуда x2−5x+4=0x^2 - 5x + 4 = 0. По теореме Виета x1+x2=5x_1 + x_2 = 5, x1x2=4x_1 x_2 = 4, значит x1=1x_1 = 1, x2=4x_2 = 4. Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: 11 и 44.
№10Сложность 3 · Сложная
Решите уравнение −14x−8=x+1\dfrac{-14}{x - 8} = x + 1.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 1; 6
ОДЗ: x≠8x \ne 8. Умножим обе части на (x−8)(x - 8): −14=(x+1)(x−8)-14 = (x + 1)(x - 8). Раскрыв скобки: −14=x2−7x+−8-14 = x^2 - 7x + -8, откуда x2−7x+6=0x^2 - 7x + 6 = 0. По теореме Виета x1+x2=7x_1 + x_2 = 7, x1x2=6x_1 x_2 = 6, значит x1=1x_1 = 1, x2=6x_2 = 6. Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: 11 и 66.
№11Сложность 3 · Сложная
Решите систему уравнений {x+y=9,xy=20.\begin{cases} x + y = 9, \\ xy = 20. \end{cases} В ответе укажите пары (x;y)(x; y).
▸Показать ответ и решение
Ответ: (4; 5); (5; 4)
Из первого уравнения y=9−xy = 9 - x. Подставим во второе: x(9−x)=20x(9 - x) = 20, то есть x2−9x+20=0x^2 - 9x + 20 = 0. Дискриминант D=92−4⋅20=81−80=1D = 9^2 - 4\cdot 20 = 81 - 80 = 1, D=1\sqrt{D} = 1. Корни x1=4x_1 = 4, x2=5x_2 = 5. Тогда пары: (4;5)(4; 5) и (5;4)(5; 4).
№12Сложность 3 · Сложная
Решите систему уравнений {x+y=13,xy=42.\begin{cases} x + y = 13, \\ xy = 42. \end{cases} В ответе укажите пары (x;y)(x; y).
▸Показать ответ и решение
Ответ: (6; 7); (7; 6)
Из первого уравнения y=13−xy = 13 - x. Подставим во второе: x(13−x)=42x(13 - x) = 42, то есть x2−13x+42=0x^2 - 13x + 42 = 0. Дискриминант D=132−4⋅42=169−168=1D = 13^2 - 4\cdot 42 = 169 - 168 = 1, D=1\sqrt{D} = 1. Корни x1=6x_1 = 6, x2=7x_2 = 7. Тогда пары: (6;7)(6; 7) и (7;6)(7; 6).
№13Сложность 3 · Сложная
Решите систему уравнений {x+y=9,xy=8.\begin{cases} x + y = 9, \\ xy = 8. \end{cases} В ответе укажите пары (x;y)(x; y).
▸Показать ответ и решение
Ответ: (1; 8); (8; 1)
Из первого уравнения y=9−xy = 9 - x. Подставим во второе: x(9−x)=8x(9 - x) = 8, то есть x2−9x+8=0x^2 - 9x + 8 = 0. Дискриминант D=92−4⋅8=81−32=49D = 9^2 - 4\cdot 8 = 81 - 32 = 49, D=7\sqrt{D} = 7. Корни x1=1x_1 = 1, x2=8x_2 = 8. Тогда пары: (1;8)(1; 8) и (8;1)(8; 1).
№14Сложность 3 · Сложная
Решите систему уравнений {x+y=5,xy=6.\begin{cases} x + y = 5, \\ xy = 6. \end{cases} В ответе укажите пары (x;y)(x; y).
▸Показать ответ и решение
Ответ: (2; 3); (3; 2)
Из первого уравнения y=5−xy = 5 - x. Подставим во второе: x(5−x)=6x(5 - x) = 6, то есть x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0. Дискриминант D=52−4⋅6=25−24=1D = 5^2 - 4\cdot 6 = 25 - 24 = 1, D=1\sqrt{D} = 1. Корни x1=2x_1 = 2, x2=3x_2 = 3. Тогда пары: (2;3)(2; 3) и (3;2)(3; 2).
№15Сложность 3 · Сложная
Решите систему уравнений {3x+3y=15,x−2y=−1.\begin{cases} 3x + 3y = 15, \\ x - 2y = -1. \end{cases}
▸Показать ответ и решение
Ответ: (3; 2)
Решим методом сложения. Умножим первое уравнение на 11, второе на 33, чтобы уравнять коэффициенты при xx: 3x+3y=153x + 3y = 15 и 3x+−6y=−33x + -6y = -3. Вычтем: (3−−6)y=15−−3(3 - -6)y = 15 - -3, то есть 9y=189y = 18, откуда y=2y = 2. Подставив в первое уравнение, получим x=3x = 3. Ответ: (3;2)(3; 2).
№16Сложность 3 · Сложная
Решите систему уравнений {x+2y=5,3x−2y=−17.\begin{cases} x + 2y = 5, \\ 3x - 2y = -17. \end{cases}
▸Показать ответ и решение
Ответ: (-3; 4)
Решим методом сложения. Умножим первое уравнение на 33, второе на 11, чтобы уравнять коэффициенты при xx: 3x+6y=153x + 6y = 15 и 3x+−2y=−173x + -2y = -17. Вычтем: (6−−2)y=15−−17(6 - -2)y = 15 - -17, то есть 8y=328y = 32, откуда y=4y = 4. Подставив в первое уравнение, получим x=−3x = -3. Ответ: (−3;4)(-3; 4).
№17Сложность 3 · Сложная
Упростите выражение 1x−2−1x+2\dfrac{1}{x - 2} - \dfrac{1}{x + 2} и найдите его значение при x=7x = 7.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 4/45
Приведём к общему знаменателю (x−2)(x+2)=x2−4(x - 2)(x + 2) = x^2 - 4: (x+2)−(x−2)x2−4=4x2−4\dfrac{(x + 2) - (x - 2)}{x^2 - 4} = \dfrac{4}{x^2 - 4}. При x=7x = 7: знаменатель =72−4=49−4=45= 7^2 - 4 = 49 - 4 = 45, значение =445=4/45= \dfrac{4}{45} = 4/45.
№18Сложность 3 · Сложная
Упростите выражение 1x−4−1x+4\dfrac{1}{x - 4} - \dfrac{1}{x + 4} и найдите его значение при x=9x = 9.
▸Показать ответ и решение
Ответ: 8/65
Приведём к общему знаменателю (x−4)(x+4)=x2−16(x - 4)(x + 4) = x^2 - 16: (x+4)−(x−4)x2−16=8x2−16\dfrac{(x + 4) - (x - 4)}{x^2 - 16} = \dfrac{8}{x^2 - 16}. При x=9x = 9: знаменатель =92−16=81−16=65= 9^2 - 16 = 81 - 16 = 65, значение =865=8/65= \dfrac{8}{65} = 8/65.

Все задачи — авторские, сгенерированы по типовым прототипам задания 20 ОГЭ с проверенными ответами. Решай с моментальной проверкой в тренажёре.

Другие типы

Ещё типы задания 20

Неравенства методом интервалов (часть 2)

Реши задание 20 онлайн

Прорешай задачи этого типа в тренажёре с моментальной проверкой и разбором.

Решать в тренажёре