Дробно-рациональные неравенства

ОДЗ: $x \ne -5$ (знаменатель не равен нулю). Нуль числителя $x=5$, нуль знаменателя $x=-5$ (числитель — правее). Отмечаем на оси точки $-5$ и $5$; дробь меняет знак при переходе через каждую. Дробь отрицательна между корнями: $-5 < x < 5$. Оба конца не входят (нуль знаменателя выколот по ОДЗ, нуль числителя — из-за строгого знака). Наибольшее целое решение: $4$.

ОДЗ: $x \ne -3$ (знаменатель не равен нулю). Нуль числителя $x=-1$, нуль знаменателя $x=-3$ (числитель — правее). Отмечаем на оси точки $-3$ и $-1$; дробь меняет знак при переходе через каждую. Дробь отрицательна между корнями: $-3 < x < -1$. Оба конца не входят (нуль знаменателя выколот по ОДЗ, нуль числителя — из-за строгого знака). Наименьшее целое решение: $-2$.

ОДЗ: $x \ne 5$ (знаменатель не равен нулю). Нуль числителя $x=0$, нуль знаменателя $x=5$ (числитель — левее). Отмечаем на оси точки $0$ и $5$; дробь меняет знак при переходе через каждую. Дробь отрицательна между корнями: $0 < x < 5$. Оба конца не входят (нуль знаменателя выколот по ОДЗ, нуль числителя — из-за строгого знака). Наибольшее целое решение: $4$.

ОДЗ: $x \ne 0$ (знаменатель не равен нулю). Нуль числителя $x=-4$, нуль знаменателя $x=0$ (числитель — левее). Отмечаем на оси точки $-4$ и $0$; дробь меняет знак при переходе через каждую. Дробь отрицательна между корнями: $-4 < x < 0$. Оба конца не входят (нуль знаменателя выколот по ОДЗ, нуль числителя — из-за строгого знака). Наименьшее целое решение: $-3$.

ОДЗ: $x \ne 6$ (знаменатель не равен нулю). Нуль числителя $x=3$, нуль знаменателя $x=6$ (числитель — левее). Отмечаем на оси точки $3$ и $6$; дробь меняет знак при переходе через каждую. Дробь отрицательна между корнями: $3 < x < 6$. Оба конца не входят (нуль знаменателя выколот по ОДЗ, нуль числителя — из-за строгого знака). Наибольшее целое решение: $5$.

ОДЗ: $x \ne -2$ (знаменатель не равен нулю). Нуль числителя $x=-4$, нуль знаменателя $x=-2$ (числитель — левее). Отмечаем на оси точки $-4$ и $-2$; дробь меняет знак при переходе через каждую. Дробь отрицательна между корнями: $-4 < x < -2$. Оба конца не входят (нуль знаменателя выколот по ОДЗ, нуль числителя — из-за строгого знака). Наименьшее целое решение: $-3$.

ОДЗ: $x \ne -7$ (знаменатель не равен нулю). Нуль числителя $x=7$, нуль знаменателя $x=-7$ (числитель — правее). Отмечаем на оси точки $-7$ и $7$; дробь меняет знак при переходе через каждую. Дробь отрицательна между корнями: $-7 < x < 7$. Оба конца не входят (нуль знаменателя выколот по ОДЗ, нуль числителя — из-за строгого знака). Наибольшее целое решение: $6$.

ОДЗ: $x \ne 3$ (знаменатель не равен нулю). Нуль числителя $x=7$, нуль знаменателя $x=3$ (числитель — правее). Отмечаем на оси точки $3$ и $7$; дробь меняет знак при переходе через каждую. Дробь отрицательна между корнями: $3 < x < 7$. Оба конца не входят (нуль знаменателя выколот по ОДЗ, нуль числителя — из-за строгого знака). Наименьшее целое решение: $4$.

ОДЗ: $x \ne -3$ (знаменатель не равен нулю). Нуль числителя $x=1$, нуль знаменателя $x=-3$ (числитель — правее). Отмечаем на оси точки $-3$ и $1$; дробь меняет знак при переходе через каждую. Дробь отрицательна между корнями: $-3 < x < 1$. Оба конца не входят (нуль знаменателя выколот по ОДЗ, нуль числителя — из-за строгого знака). Наибольшее целое решение: $0$.

ОДЗ: $x \ne -7$ (знаменатель не равен нулю). Нуль числителя $x=4$, нуль знаменателя $x=-7$ (числитель — правее). Отмечаем на оси точки $-7$ и $4$; дробь меняет знак при переходе через каждую. Дробь отрицательна между корнями: $-7 < x < 4$. Оба конца не входят (нуль знаменателя выколот по ОДЗ, нуль числителя — из-за строгого знака). Наименьшее целое решение: $-6$.

ОДЗ: $x \ne 7$. Нуль числителя $x=1$, нуль знаменателя $x=7$. Методом интервалов дробь отрицательна между корнями: основа решения — промежуток от $1$ до $7$. Точка знаменателя $x=7$ выколота всегда; нуль числителя $x=1$ входит (знак нестрогий, дробь равна нулю). Из-за нестрогого («≤ 0») знака целых решений ровно 6.

ОДЗ: $x \ne -5$. Нуль числителя $x=8$, нуль знаменателя $x=-5$. Методом интервалов дробь отрицательна между корнями: основа решения — промежуток от $-5$ до $8$. Точка знаменателя $x=-5$ выколота всегда; нуль числителя $x=8$ не входит (знак строгий). Из-за строгого («< 0») знака целых решений ровно 12.

ОДЗ: $x \ne 6$. Нуль числителя $x=-4$, нуль знаменателя $x=6$. Методом интервалов дробь отрицательна между корнями: основа решения — промежуток от $-4$ до $6$. Точка знаменателя $x=6$ выколота всегда; нуль числителя $x=-4$ входит (знак нестрогий, дробь равна нулю). Из-за нестрогого («≤ 0») знака целых решений ровно 10.

ОДЗ: $x \ne 4$. Нуль числителя $x=-6$, нуль знаменателя $x=4$. Методом интервалов дробь отрицательна между корнями: основа решения — промежуток от $-6$ до $4$. Точка знаменателя $x=4$ выколота всегда; нуль числителя $x=-6$ не входит (знак строгий). Из-за строгого («< 0») знака целых решений ровно 9.

ОДЗ: $x \ne -4$. Нуль числителя $x=-7$, нуль знаменателя $x=-4$. Методом интервалов дробь отрицательна между корнями: основа решения — промежуток от $-7$ до $-4$. Точка знаменателя $x=-4$ выколота всегда; нуль числителя $x=-7$ входит (знак нестрогий, дробь равна нулю). Из-за нестрогого («≤ 0») знака целых решений ровно 3.

ОДЗ: $x \ne -4$. Нуль числителя $x=4$, нуль знаменателя $x=-4$. Методом интервалов дробь отрицательна между корнями: основа решения — промежуток от $-4$ до $4$. Точка знаменателя $x=-4$ выколота всегда; нуль числителя $x=4$ не входит (знак строгий). Из-за строгого («< 0») знака целых решений ровно 7.

ОДЗ: $x \ne -5$. Нуль числителя $x=7$, нуль знаменателя $x=-5$. Методом интервалов дробь отрицательна между корнями: основа решения — промежуток от $-5$ до $7$. Точка знаменателя $x=-5$ выколота всегда; нуль числителя $x=7$ входит (знак нестрогий, дробь равна нулю). Из-за нестрогого («≤ 0») знака целых решений ровно 12.

ОДЗ: $x \ne -6$. Нуль числителя $x=7$, нуль знаменателя $x=-6$. Методом интервалов дробь отрицательна между корнями: основа решения — промежуток от $-6$ до $7$. Точка знаменателя $x=-6$ выколота всегда; нуль числителя $x=7$ не входит (знак строгий). Из-за строгого («< 0») знака целых решений ровно 12.

ОДЗ: $x \ne -2$. Нуль числителя $x=6$, нуль знаменателя $x=-2$. Методом интервалов дробь отрицательна между корнями: основа решения — промежуток от $-2$ до $6$. Точка знаменателя $x=-2$ выколота всегда; нуль числителя $x=6$ входит (знак нестрогий, дробь равна нулю). Из-за нестрогого («≤ 0») знака целых решений ровно 8.

ОДЗ: $x \ne 6$. Нуль числителя $x=-5$, нуль знаменателя $x=6$. Методом интервалов дробь отрицательна между корнями: основа решения — промежуток от $-5$ до $6$. Точка знаменателя $x=6$ выколота всегда; нуль числителя $x=-5$ не входит (знак строгий). Из-за строгого («< 0») знака целых решений ровно 10.

ОДЗ: $x \ne 8$. Нуль числителя $x=-5$, нуль знаменателя $x=8$. Методом интервалов дробь отрицательна между корнями: основа решения — промежуток от $-5$ до $8$. Точка знаменателя $x=8$ выколота всегда; нуль числителя $x=-5$ входит (знак нестрогий, дробь равна нулю). Из-за нестрогого («≤ 0») знака целых решений ровно 13.

ОДЗ: $x \ne -4$. Нуль числителя $x=-3$, нуль знаменателя $x=-4$; на оси точки $-4$ и $-3$. Дробь неотрицательна вне промежутка между корнями, причём нуль числителя $x=-3$ входит (знак нестрогий), а нуль знаменателя $x=-4$ выколот. Решение: $x \le -4$ либо $x \ge -3$ с учётом выколотой точки знаменателя. Среди целых положительных наименьшее, удовлетворяющее неравенству, — $1$.

ОДЗ: $x \ne 1$. Нуль числителя $x=-2$, нуль знаменателя $x=1$; на оси точки $-2$ и $1$. Дробь неотрицательна вне промежутка между корнями, причём нуль числителя $x=-2$ входит (знак нестрогий), а нуль знаменателя $x=1$ выколот. Решение: $x \le -2$ либо $x \ge 1$ с учётом выколотой точки знаменателя. Среди целых положительных наименьшее, удовлетворяющее неравенству, — $2$.

ОДЗ: $x \ne 1$. Нуль числителя $x=2$, нуль знаменателя $x=1$; на оси точки $1$ и $2$. Дробь неотрицательна вне промежутка между корнями, причём нуль числителя $x=2$ входит (знак нестрогий), а нуль знаменателя $x=1$ выколот. Решение: $x \le 1$ либо $x \ge 2$ с учётом выколотой точки знаменателя. Среди целых положительных наименьшее, удовлетворяющее неравенству, — $2$.

ОДЗ: $x \ne 3$. Нуль числителя $x=-3$, нуль знаменателя $x=3$; на оси точки $-3$ и $3$. Дробь неотрицательна вне промежутка между корнями, причём нуль числителя $x=-3$ входит (знак нестрогий), а нуль знаменателя $x=3$ выколот. Решение: $x \le -3$ либо $x \ge 3$ с учётом выколотой точки знаменателя. Среди целых положительных наименьшее, удовлетворяющее неравенству, — $4$.

ОДЗ: $x \ne -4$. Нуль числителя $x=0$, нуль знаменателя $x=-4$; на оси точки $-4$ и $0$. Дробь неотрицательна вне промежутка между корнями, причём нуль числителя $x=0$ входит (знак нестрогий), а нуль знаменателя $x=-4$ выколот. Решение: $x \le -4$ либо $x \ge 0$ с учётом выколотой точки знаменателя. Среди целых положительных наименьшее, удовлетворяющее неравенству, — $1$.

ОДЗ: $x \ne -3$. Нуль числителя $x=-2$, нуль знаменателя $x=-3$; на оси точки $-3$ и $-2$. Дробь неотрицательна вне промежутка между корнями, причём нуль числителя $x=-2$ входит (знак нестрогий), а нуль знаменателя $x=-3$ выколот. Решение: $x \le -3$ либо $x \ge -2$ с учётом выколотой точки знаменателя. Среди целых положительных наименьшее, удовлетворяющее неравенству, — $1$.

ОДЗ: $x \ne 0$. Нуль числителя $x=3$, нуль знаменателя $x=0$; на оси точки $0$ и $3$. Дробь неотрицательна вне промежутка между корнями, причём нуль числителя $x=3$ входит (знак нестрогий), а нуль знаменателя $x=0$ выколот. Решение: $x \le 0$ либо $x \ge 3$ с учётом выколотой точки знаменателя. Среди целых положительных наименьшее, удовлетворяющее неравенству, — $3$.

ОДЗ: $x \ne 3$. Нуль числителя $x=-1$, нуль знаменателя $x=3$; на оси точки $-1$ и $3$. Дробь неотрицательна вне промежутка между корнями, причём нуль числителя $x=-1$ входит (знак нестрогий), а нуль знаменателя $x=3$ выколот. Решение: $x \le -1$ либо $x \ge 3$ с учётом выколотой точки знаменателя. Среди целых положительных наименьшее, удовлетворяющее неравенству, — $4$.