Как решать задание 22 ОГЭ: графики с параметром, модулем и гиперболой

Это задание части 2: до 2 баллов, и здесь требуется полное оформление. Просто ответа мало — нужен построенный график, рассуждение про прямую $y=m$ и аккуратный перебор случаев. Чаще всего встречаются три типа функций: с модулем, гипербола с выколотой точкой и кусочно-заданные.

Базовая идея всего задания: прямая $y=m$ горизонтальна, и сколько раз она пересекает график — столько и корней у уравнения. Для параболы $y=ax^2+bx+c$ ответ зависит от того, выше или ниже вершины проходит прямая.

Поэтому первым делом находишь координаты вершины параболы. Абсцисса вершины: $x_0=-\dfrac{b}{2a}$, а ордината $y_0$ — это и есть то значение $m$, которое даёт ровно один корень.

Модуль раскрывают по знаку выражения под ним. График $y=|x|$ — это «галочка»: при $x\ge 0$ это прямая $y=x$, при $x<0$ — прямая $y=-x$. Вершина галочки в точке $(0;0)$.

Общий приём: находишь точку, где выражение под модулем обращается в ноль, и разбиваешь числовую ось на промежутки. На каждом промежутке модуль раскрывается со своим знаком, и ты строишь обычный кусок прямой или параболы. В точке смены знака куски стыкуются.

Гипербола $y=\dfrac{k}{x}$ — две ветви в противоположных четвертях. Сама по себе она простая, но в задании 22 её обычно «портят»: после сокращения дроби появляется выколотая точка.

Если в исходной функции есть множитель $(x-a)$, который сокращается, то при $x=a$ функция не определена. График при этом выглядит как обычный, но в точке $x=a$ из него «выколота» одна точка — её рисуют пустым кружком.

Чтобы найти ординату выколотой точки, подставь $x=a$ в упрощённую функцию. Получишь то значение $m$, при котором прямая задевает дырку — и число корней меняется.

Иногда функция задана сразу несколькими формулами на разных промежутках. Это тот же модуль, только записанный честно через систему. Строй каждый кусок на своём промежутке и следи за границами — закрашенная точка принадлежит графику, выколотая нет.

Когда все куски построены, дальше всё как обычно: проводишь $y=m$ и считаешь пересечения. Особое внимание уделяй стыкам кусков — там часто прячется случай с одним «лишним» или «недостающим» корнем.

За задание 22 дают до 2 баллов, и снимают их именно за оформление, а не за идею. Эксперт должен увидеть построение и рассуждение, а не только финальный ответ.

Задание 22 нарешивается типами: разобрал параболу, модуль, гиперболу — и дальше отличаешь их с первого взгляда. Бери задачи в тренажёре и тренируйся строить графики с проверкой.